레일리 산란은 파장보다 훨씬 작은 공기 분자가 빛을 흩뜨리는 현상으로, 세기가 파장의 4제곱에 반비례한다. 레일리 산란 공식과 유도, 하늘이 파랗고 노을이 붉은 이유, 미 산란과 차이까지 정리했다.
레일리 산란은 빛의 파장보다 훨씬 작은 입자, 예를 들어 질소·산소 분자가 빛을 사방으로 흩뜨리는 현상이다. 산란되는 빛의 세기가 파장의 4제곱에 반비례하기 때문에 파장이 짧은 파란빛이 빨간빛보다 몇 배나 더 많이 흩어진다. 낮 하늘이 파랗고 해 질 녘 하늘이 붉은 이유가 바로 레일리 산란이다.
레일리 산란이란 무엇인가 — 뜻과 발견
1860년대 영국의 존 틴들은 미세한 입자가 떠 있는 기체에 빛을 비추면 옆에서 본 빛이 푸르스름해진다는 사실을 실험으로 보였다. 이 현상을 이론으로 설명한 사람이 영국 물리학자 레일리 경(존 윌리엄 스트럿)이다. 그는 1871년 논문에서 입자가 파장보다 충분히 작을 때 산란된 빛의 세기가 파장의 4제곱에 반비례한다는 결론을 내렸고, 이후 맥스웰 전자기 이론으로 다시 정리했다.
핵심 조건은 입자의 크기다. 공기 분자의 지름은 약 0.3나노미터이고 가시광선의 파장은 400~700나노미터이니, 분자는 빛의 파장보다 천 배 이상 작다. 이렇게 작은 입자에서 일어나는 산란을 레일리 산란이라 부르고, 입자 크기가 파장과 비슷해지면 성질이 다른 미 산란이 된다. 둘을 가르는 기준은 입자 둘레와 파장의 비율, 곧 크기 매개변수다.
레일리 산란 공식 — 왜 파장의 4제곱에 반비례할까?
빛은 진동하는 전기장이다. 이 전기장이 분자에 닿으면 분자 속 전자구름이 같은 진동수로 흔들리면서 작은 전기 쌍극자가 생긴다. 쌍극자 모멘트 \(p_0\)가 각진동수 \(\omega\)로 진동할 때 사방으로 내보내는 전자기파의 일률은 다음과 같다.
$$P = \frac{p_0^{\,2}\,\omega^4}{12\pi\varepsilon_0 c^3} \;\propto\; \omega^4 \;\propto\; \frac{1}{\lambda^4}$$
진동하는 쌍극자의 복사 일률은 진동수의 4제곱에 비례한다
여기서 \(\varepsilon_0\)는 진공의 유전율, \(c\)는 빛의 속력이다. 진동수가 두 배면 전자가 두 배 빠르게 흔들리고, 가속도가 커진 만큼 복사가 훨씬 강해진다. \(\omega = 2\pi c/\lambda\)이므로 파장으로 바꾸면 4제곱 반비례가 나온다. 입자 지름 \(d\), 굴절률 \(n\), 산란각 \(\theta\), 관측 거리 \(R\)까지 넣은 레일리 산란 공식은 다음과 같다.
$$I = I_0\,\frac{1+\cos^2\theta}{2R^2}\left(\frac{2\pi}{\lambda}\right)^{4}\left(\frac{n^2-1}{n^2+2}\right)^{2}\left(\frac{d}{2}\right)^{6}$$
파장의 4제곱 반비례, 입자 크기의 6제곱 비례가 레일리 산란의 두 가지 특징
파란빛 450나노미터와 빨간빛 700나노미터를 비교하면 \((700/450)^4 \approx 5.9\)이므로 파란빛이 약 5.9배 더 많이 산란된다. 입자 크기의 6제곱에 비례한다는 점도 중요하다. 입자 지름이 두 배가 되면 산란은 64배로 늘어난다.
하늘이 파란 이유와 노을이 붉은 이유
낮에 태양이 아닌 하늘의 다른 곳을 보면, 우리 눈에 들어오는 빛은 대기 분자가 옆으로 흩뜨린 빛이다. 레일리 산란으로 짧은 파장이 훨씬 많이 흩어지므로 하늘은 파랗게 보인다. 파장이 더 짧은 보라색이 하늘을 채우지 않는 이유는 세 가지다. 햇빛 자체에 보랏빛 성분이 상대적으로 적고, 상층 대기가 일부를 흡수하며, 사람 눈의 원뿔세포가 보라색에 덜 민감하다.
해가 지평선 가까이 있으면 햇빛이 지나는 대기의 두께가 머리 위에 있을 때보다 수십 배 길어진다. 그 긴 길을 오는 동안 파란빛은 옆으로 다 흩어져 빠지고, 남은 주황·빨간빛이 눈에 도달해 노을이 붉다. 레일리 산란은 편광도 만든다. 공식의 \(1+\cos^2\theta\) 항이 말해 주듯 태양과 90도 방향에서 산란된 빛은 강하게 편광되어 있어, 편광 선글라스나 카메라 편광 필터를 돌리면 그 방향의 하늘이 눈에 띄게 어두워진다.
레일리 산란과 미 산란 차이
레일리 산란 vs 미 산란
- 입자 크기: 레일리는 파장보다 훨씬 작음(기체 분자), 미 산란은 파장과 비슷하거나 큼(물방울·먼지)
- 파장 의존성: 레일리는 4제곱 반비례로 강함, 미 산란은 약해 모든 색이 비슷하게 흩어짐
- 방향: 레일리는 앞뒤로 대칭에 가까움, 미 산란은 앞쪽으로 크게 치우침
- 대표 현상: 파란 하늘·붉은 노을 / 흰 구름·뿌연 미세먼지 하늘
구름이 하얀 것은 마이크로미터 크기의 물방울이 모든 색을 비슷하게 산란하는 미 산란 때문이고, 미세먼지가 많은 날 하늘이 희뿌연 것도 같은 이유다. 화성의 하늘은 낮에는 누르스름하고 노을은 오히려 푸르스름한데, 대기가 옅고 미세한 먼지가 산란을 주도하기 때문이다. 레일리 산란은 통신에도 중요하다. 유리 광섬유 속 미세한 밀도 요동이 레일리 산란을 일으켜 신호를 깎아 먹는데, 파장이 길수록 이 손실이 줄어 장거리 광통신은 1550나노미터 부근 적외선을 쓴다.
나는 투명한 물컵에 우유를 몇 방울 떨어뜨리고 어두운 방에서 손전등을 비춰 본 적이 있다. 옆에서 보면 물이 옅은 하늘색으로 빛나고, 반대편에서 손전등 쪽을 바라보면 빛이 주황빛으로 보였다. 컵 하나에 낮 하늘과 노을이 동시에 들어 있는 셈이라, 레일리 산란을 설명할 때 이보다 좋은 실험을 아직 찾지 못했다.